Олимпиадные задачи из источника «18 турнир (1996/1997 год)» для 9 класса - сложность 3-5 с решениями

Точка <i>P</i> лежит внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i>  (<i>AB = BC </i>),  причём  ∠<i>ABC</i> = 80°,  ∠<i>PAC</i> = 40°,  ∠<i>ACP</i> = 30°.  Найдите угол <i>BPC</i>.

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.

Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Положительные числа <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i> таковы, что  <i>abc</i> = 1.  Докажите неравенство <div align="CENTER"> <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_2.gif"> + <img width="68" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_3.gif"> + <img width="70" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/107843/problem_107843_img_4.gif"> ≤ 1. </div>

2<i>n</i> шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).

Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на <i>n</i>, то она изменилась ровно на <i>n</i>.

В выпуклом шестиугольнике <i>AC</i>₁<i>BA</i>₁<i>CB</i>₁   <i>AB</i>₁ = <i>AC</i>₁,  <i>BC</i>₁ = <i>BA</i>₁,  <i>CA</i>₁ = <i>CB</i>₁  и  ∠<i>A</i> + ∠<i>B</i> + ∠<i>C</i> = ∠<i>A</i>₁ + ∠<i>B</i>₁ + ∠<i>C</i>₁.

Докажите, что площадь треугольника <i>ABC</i> равна половине площади шестиугольника.

Пусть  1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>n</i>–1 = <i>F</i>(<i>x</i>)<i>G</i>(<i>x</i>),  где <i>F</i> и <i>G</i> – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (<i>n</i> > 1).

Докажите, что один из многочленов <i>F</i>, <i>G</i> представим в виде  (1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i>^<i>k</i>–1)<i>T</i>(<i>x</i>),  где <i>T</i>(<i>x</i>) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (<i>k</i> > 1).

Контуры выпуклых многоугольников <i>F</i> и <i>G</i> не имеют общих точек, причём <i>G</i> расположен внутри <i>F</i>. Хорду многоугольника <i>F</i> – отрезок, соединяющий две точки контура <i>F</i>, назовём опорной для <i>G</i>, если она пересекается с <i>G</i> только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону <i>G</i>.

  а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру <i>G</i>.

  б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

Имеется набор из 20 гирь, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 1997 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каков минимально возможный вес самой тяжелой гири такого набора, если:

  а) веса гирь набора все целые,

  б) веса не обязательно целые?

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.

  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.

  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Карточка матлото представляет собой таблицу 10×10 клеточек. Играющий отмечает 10 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется десятка проигрышных клеточек. Докажите, что

  а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;

  б) двенадцати карточек для этого недостаточно.

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  <i>f_ij</i>  означает число различных путей, идущих из порта <i>i</i> в порт <i>j</i>. Докажите неравенство   <i>f</i>₁₄<i>f</i>₂₃ ≥ <i>f</i>₁₃<i>f</i>₂₄.

  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом поря...

Докажите, что не существует никакой (даже разрывной) функции  <i>y = f</i>(<i>x</i>),  для которой  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i>² – 1996  при всех <i>x</i>.

а) Докажите для всех <i>n</i> > 2 неравенство     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_2.gif">б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа <i>a, b, c</i>, что для всех  <i>n</i> > 2   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98328/problem_98328_img_3.gif">

На координатной плоскости <i>xOy</i> построена парабола  <i>y = x</i>².  Затем начало координат и оси стёрли.

Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

Карточка матлото представляет собой таблицу 6×6 клеточек. Играющий отмечает 6 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется шестёрка проигрышных клеточек. Докажите, что

  а) можно заполнить девять карточек так, чтобы среди них обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;

  б) восьми карточек для этого недостаточно.

Существует ли такое шестизначное число <i>A</i>, что среди чисел  <i>A</i>, 2<i>A</i>, ..., 500000<i>A</i>  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно. б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98319/problem_98319_img_2.gif">