Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)» для 5-8 класса

Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.

Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.

Правильный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Прямая <i>l</i>, проходящая через середину стороны <i>AB</i> и параллельная <i>AC</i>, пересекает дугу <i>AB</i>, не содержащую <i>C</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что отношение  <i>AK</i> : <i>BK</i>  равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Вокруг квадрата <i>ABCD</i> описана окружность. Точка <i>P</i> лежит на дуге <i>CD</i> этой окружности, не содержащей других вершин квадрата. Прямые <i>PA, PB</i> пересекают диагонали <i>BD, AC</i> соответственно в точках <i>K, L</i>. Точки <i>M, N</i> – проекции <i>K, L</i> соответственно на <i>CD</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения прямых <i>KN</i> и <i>ML</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>AB</i> пополам.

На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>₁₃ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂...<i>B</i>₁₃, причём точки <i>B</i>₁ и <i>A</i>₁₃ совпадают и лежат на отрезке <i>A</i>₁<i>B</i>₁₃, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₉, <i>B</i>₁₃<i>B</i><sub>...

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Первая окружность касается сторон угла <i>A</i>, вторая – сторон угла <i>B</i>, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону <i>AB</i> в её середине.

Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>CF</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> симметричны <i>F</i> относительно медиан <i>AD</i> и <i>BE</i> соответственно.

Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>BEX</i> и <i>ADY</i> совпадают.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>H</i> и <i>O</i> – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>OB</i> – биссектриса угла <i>A</i>₁<i>OC</i>₁.

Четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  <i>AB = BC</i>  и  <i>AD = CD</i>,  вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на меньшей дуге <i>CD</i> этой окружности. Прямые <i>BM</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>AM</i> и <i>BD</i> – в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>PQ || AC</i>.

На окружности радиуса <i>R</i> с диаметром <i>AD</i> и центром <i>O</i> выбраны точки <i>B</i> и <i>С</i> по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников <i>ABO</i> и <i>CDO</i> описаны окружности, пересекающие отрезок <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>E</i>. Докажите, что  <i>AF·DE = R</i>².

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что  ∠<i>AKD</i> = ∠<i>CLD</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>BKL</i> равноудален от <i>A</i> и <i>C</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>C</i>₀ – середина гипотенузы <i>AB, AA</i>₁, <i>BB</i>₁ – биссектрисы, <i>I</i> – центр вписанной окружности.

Докажите, что прямые <i>C</i>₀<i>I</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекаются на высоте <i>CH</i>.

Дана трапеция <i>ABCD</i> с основанием <i>AD</i>. Центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на прямой <i>BD</i>.

Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>ABD</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

В треугольнике центр описанной окружности лежит на вписанной окружности.

Докажите, что отношение наибольшей стороны треугольника к наименьшей меньше 2.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором  <i>AC = BD = AD</i>;  точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно; <i>O</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что <i>EF</i> проходит через точки касания вписанной окружности треугольника <i>AOD</i> с его сторонами <i>AO</i> и <i>OD</i>.

На плоскости дан отрезок <i>AB</i>. Рассмотрим всевозможные остроугольные треугольники со стороной <i>AB</i>. Найдите геометрическое место

  а) вершин их наибольших углов;

  б) их центров вписанных окружностей.

Дан треугольник <i>ABC</i>. На стороне <i>AB</i> как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник <i>ABC'</i> с углом при вершине 120°, а на стороне <i>AC</i> построен во внутреннюю сторону правильный треугольник <i>ACB'</i>. Точка <i>K</i> – середина отрезка <i>BB'</i>. Найдите углы треугольника <i>KCC'</i>.

<i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC,  H_B, H_C</i> – ортоцентры треугольников <i>ABI</i> и <i>ACI</i> соответственно, <i>K</i> – точка касания вписанной окружности треугольника со стороной <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>H_B, H_C</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.

Окружность отсекает от прямоугольника <i>ABCD</i> четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых <i>A</i>₀, <i>B</i>₀, <i>C</i>₀ и <i>D</i>₀ соответственно.

Докажите, что отрезки <i>A</i>₀<i>C</i>₀ и <i>B</i>₀<i>D</i>₀ равны.

Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого – различные простые числа.