Олимпиадные задачи из «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 11 класса

Задача 166275 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан неравнобедренный треугольник ABC, AA1 – его биссектриса, A2 – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Аналогично определяются точки B1, B2, C1, C2. Пусть O – центр описанной окружности треугольника, I – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников AA1A2, BB1B2</sub&...

Задача 166273 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC. Точка K – основание биссектрисы внешнего угла A. Точка M – середина дуги AC описанной окружности. Точка N выбрана на биссектрисе угла C так, что AN || BM. Докажите, что точки M, N и K лежат на одной прямой.

Богданов И. И. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166272 • Сложность: 2 • 10-11 класс

Существует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)

Блинков А. Д. Стереометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 166271 • Сложность: 3 • 8-11 класс

Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму s и называет 97 троек {i, j, k}, где i, j, k – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник A1A2...A100 с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников AiAjAk. При каком наибольшем s Человеку выгодно согласиться?

Белухов Н. Планиметрия Теория алгоритмов Индукция Принцип Дирихле Оценка + пример

Задача 166267 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Окружность ω касается отрезка MA в точке P, отрезка MD в точке Q и описанной окружности Ω четырёхугольника ABCD в точке X. Докажите, что X лежит на радикальной оси описанных окружностей ωQ и ωP треугольников ACQ и BDP.

Фролов И. И. Планиметрия

Задача 166263 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?

Белухов Н. Планиметрия Комбинаторная геометрия

Задача 165812 • Сложность: 4 • 10-11 класс

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом

∠A0BB' = ∠B0CC' = ∠C0AA'.

а) Чему могут равняться эти углы?

б) Докажите, что отрезки AA0, BB0, CC0 пересекаются в одной точке.

в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые ...

Богданов И. И. Планиметрия Стереометрия

Задача 165811 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Дан тетраэдр, в который можно вписать сферу, касающуюся всех его рёбер. Пусть отрезки касательных из вершин равны a, b, c и d. Всегда ли можно из этих четырёх отрезков сложить какой-нибудь треугольник? (Не обязательно использовать все отрезки. Разрешается образовывать сторону треугольника из двух отрезков.)

Ивлев Ф. Планиметрия Стереометрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 165810 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Пусть MA, MB, MC – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки HA, HB, HC, отличные от MA, MB, MC, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что MAHB = MAHC, MBHA = MBHC, MCHA = MCHB. Докажите, что &lt...

Якубов А. Планиметрия Стереометрия Геометрические методы

Задача 165809 • Сложность: 4 • 9-11 класс

BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Доледенок А. В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 165803 • Сложность: 4 • 9-11 класс

В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.

Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Емельянов Л. А. Планиметрия

Задача 165802 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.

а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2</sub&g...

Мякишев А. Г. Планиметрия

Задача 165801 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите,...

Крутовский Р. Фролов И. И. Планиметрия

Задача 165800 • Сложность: 4 • 9-11 класс

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.

Новиков И. Д. Планиметрия Проективная геометрия

Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 11 класса

Категории

XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)» для 11 класса

Категории

XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления