Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями
VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
НазадДан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>. Докажите, что <i>S<sub>ABD</sub> + S<sub>ACD</sub> > S<sub>BAC</sub> + S<sub>BDC</sub></i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> – высоты. Прямые <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>K</i>. Окружности, описанные вокруг треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>KC</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub><i>KB</i><sub>1</sub>, вторично пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>N</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что
а) сумма диаметров этих окружностей равна...
В прямоугольном треугольнике <i>ABC CH</i> – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>CH</i> пересекает больший катет <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Точка <i>B'</i> симметрична точке <i>B</i> относительно <i>H</i>. В точке <i>B'</i> восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что:
а) <i>B'M || BC</i>;
б) <i>AK</i> – касательная к окружности.
Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них <i>n</i> сторон, у другого – больше чем <i>n</i>, у третьего – меньше чем <i>n</i>.
Каковы возможные значения <i>n</i>?
На высоте <i>BD</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что ∠<i>AEC</i> = 90°. Точки <i>O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>AEB</i> и <i>CEB; F, L</i> – середины отрезков <i>AC</i> и <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub>. Докажите, что точки <i>L, E, F</i> лежат на одной прямой.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> (∠<i>B</i> = 90°) проведена высота <i>BH</i>. Окружность, вписанная в треугольник <i>ABH</i>, касается сторон <i>AB, AH</i> в точках <i>H</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно; окружность, вписанная в треугольник <i>CBH</i>, касается сторон <i>CB, CH</i> в точках <i>H</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> соответственно. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>H</i><sub>1</sub><i>BH</i><sub>2</sub>. Докажите, что <i>OB</i><sub>1</sub> = <i>OB</i...
Каждая из двух равных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> проходит через центр другой. Треугольник <i>ABC</i> вписан в ω<sub>1</sub>, а прямые <i>AC, BC</i> касаются ω<sub>2</sub>.
Докажите, что cos∠<i>A</i> + cos∠<i>B</i> = 1.
Прямая, проходящая через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>K</i>, а описанную окружность в точке <i>M</i>.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>AMK</i>.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i> (∠<i>ABC</i> = 90°), касается сторон <i>AB, BC, AC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Вневписанная окружность касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i><sub>2</sub>. <i>A</i><sub>0</sub> – центр окружности, описанной около треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>1</sub>; аналогично определяется точка <i>C</i><sub>0</sub>. Найдите угол <i>A</i><sub>0</sub><i&...
Два треугольника пересекаются. Докажите, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трёхзвенной ломаной; точка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри неё.)
Для каждой вершины треугольника <i>ABC</i> нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах <i>A</i> и <i>B</i> равны друг другу и меньше, чем угол в вершине <i>C</i>. Чему равен угол <i>C</i> треугольника?