Олимпиадные задачи из источника «1 (2009 год)» - сложность 3 с решениями

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9·1000¹⁰⁰⁰-м месте?

На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами. Двое играющих берут по очереди по одному ореху. Игра заканчивается, когда на столе останется три ореха. Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе – его соперник. Кто из игроков может выиграть, как бы не играл соперник?

В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны. Точка <i>D</i> внутри треугольника такова, что угол <i>ADC</i> вдвое больше угла <i>ABC</i>.

Докажите, что удвоенное расстояние от точки <i>B</i> до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом <i>ADC</i>, равно  <i>AD + DC</i>.

При всяком ли натуральном  <i>n</i> > 2009  из дробей  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65061/problem_65061_img_2.gif">  можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?

В футбольном турнире участвовало 8 команд, причём каждая сыграла с каждой ровно по одному разу. Известно, что каждые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков. Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире. (За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0.)

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> некоторая точка диагонали <i>АС</i> принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам <i>АВ</i> и <i>CD</i>, а некоторая точка диагонали <i>BD</i> принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам <i>AD</i> и <i>ВС</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – прямоугольник.