Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 11 класса

Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов – белый или чёрный, причём числа 2016 и 2017 покрашены разными цветами. Обязательно ли найдутся три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства  <i>f</i>(<i>x</i> + 2) = <i>f</i>(2 – <i>x</i>)  и  <i>f</i>(<i>x</i> + 7) = <i>f</i>(7 – <i>x</i>).

Докажите, что  <i>f</i>(<i>x</i>) – периодическая функция.

Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i> с плоскими прямыми углами при вершине <i>D</i>, в которой  <i>CD = AD + DB</i>.

Докажите, что сумма плоских углов при вершине <i>C</i> равна 90°.

Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.

Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?

Вася вписал в клетки таблицы 4×18 натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из 18 полученных произведений вычислил сумму цифр. Могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми?

Имеет ли отрицательные корни уравнение   <i>x</i>⁴ – 4<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 9 = 0?

100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?

Из вершины тупого угла <i>А</i> треугольника <i>АВС</i> опущена высота <i>AD</i>. Проведена окружность с центром <i>D</i> и радиусом <i>DA</i>, которая вторично пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Найдите <i>AC</i>, если  <i>AB = c,  AM = m</i>  и  <i>AN = n</i>.

В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу и любые три из оставшихся – на правую, левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?

Сумма двух целых чисел равна <i>S</i>. Маша умножила левое число на целое число <i>a</i>, правое – на целое число <i>b</i>, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на <i>S</i>. Алёша, наоборот, левое число умножил на <i>b</i>, а правое – на <i>a</i>. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на <i>S</i>.

На листе бумаги построили параболу – график функции  <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i>  при  <i>a</i> > 0,  <i>b</i> > 0  и  <i>c</i> < 0,  – а оси координат стёрли (см. рис.).

Как они могли располагаться? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65911/problem_65911_img_2.gif"></div>