Докажем, что  АМ·АВ = AN·AC  (то есть  mc = nAC).   Первый способ. В прямоугольных треугольниках ADB и ADC проведём высоты DP и DQ соответственно (рис. слева). Тогда  АР·АВ = AD² = AQ·AC.  Так как треугольники ADM и ADN – равнобедренные, то  АР = ½ AM  и  АQ = ½ AN.

  Заменив АР и АQ в равенстве  АР·АВ = AQ·AC,  получим требуемое.

  Второй способ. Пусть  ∠ANM = α,  тогда  ∠AОM = 2α.  Из равнобедренного треугольника ADM получаем  ∠MAD = 90° – α,  поэтому  ∠В = α.  Отсюда следует, что четырёхугольник BMNC – вписанный. Теперь требуемое равенство следует из теоремы об отрезках секущих, проведённых из точки А к его описанной окружности (рис. справа).   Третий способ. Проведём диаметр AE. Из подобия прямоугольных треугольников ABD и AEM следует, что  AB : AE = AD : AM,  то есть

АМ·АВ = AD·AE.  Аналогично  АN·АC = AD·AE.

^mc/_n.