Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.

Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?

Из вершины тупого угла <i>А</i> треугольника <i>АВС</i> опущена высота <i>AD</i>. Проведена окружность с центром <i>D</i> и радиусом <i>DA</i>, которая вторично пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Найдите <i>AC</i>, если  <i>AB = c,  AM = m</i>  и  <i>AN = n</i>.

В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу и любые три из оставшихся – на правую, левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?

Сумма двух целых чисел равна <i>S</i>. Маша умножила левое число на целое число <i>a</i>, правое – на целое число <i>b</i>, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на <i>S</i>. Алёша, наоборот, левое число умножил на <i>b</i>, а правое – на <i>a</i>. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на <i>S</i>.

На листе бумаги построили параболу – график функции  <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i>  при  <i>a</i> > 0,  <i>b</i> > 0  и  <i>c</i> < 0,  – а оси координат стёрли (см. рис.).

Как они могли располагаться? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65911/problem_65911_img_2.gif"></div>