Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

В прямоугольнике <i>ABCD</i> на диагонали <i>AC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что  <i>CK = BC</i>.  На стороне <i>ВС</i> отмечена точка <i>М</i> так, что  <i>КМ = СМ</i>. Докажите, что  <i>АK + ВМ = СМ</i>.

В классе учатся 30 человек: отличники, троечники и двоечники. Отличники на все вопросы отвечают правильно, двоечники всегда ошибаются, а троечники на заданные им вопросы строго по очереди то отвечают верно, то ошибаются. Всем ученикам было задано по три вопроса: "Ты отличник?", "Ты троечник?", "Ты двоечник?". Ответили "Да" на первый вопрос – 19 учащихся, на второй – 12, на третий – 9. Сколько троечников учится в этом классе?

Точки пересечения графиков четырёх функций, заданных формулами  <i>y = kx + b,  y = kx – b,  y = mx + b</i>  и  <i>y = mx – b</i>,  являются вершинами четырёхугольника. Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Расставьте в левой части равенства   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65900/problem_65900_img_2.gif">   знаки арифметических операций и скобки так, чтобы равенство стало верным для всех <i>а</i>, отличных от нуля.

Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.