Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 10 класса
Каждое целое число на координатной прямой покрашено в один из двух цветов – белый или чёрный, причём числа 2016 и 2017 покрашены разными цветами. Обязательно ли найдутся три одинаково покрашенных целых числа, сумма которых равна нулю?
Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства <i>f</i>(<i>x</i> + 2) = <i>f</i>(2 – <i>x</i>) и <i>f</i>(<i>x</i> + 7) = <i>f</i>(7 – <i>x</i>).
Докажите, что <i>f</i>(<i>x</i>) – периодическая функция.
Дана треугольная пирамида <i>ABCD</i> с плоскими прямыми углами при вершине <i>D</i>, в которой <i>CD = AD + DB</i>.
Докажите, что сумма плоских углов при вершине <i>C</i> равна 90°.
Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.
Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
Вася вписал в клетки таблицы 4×18 натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Сначала он нашел произведение чисел, стоящих в каждом столбце, а затем у каждого из 18 полученных произведений вычислил сумму цифр. Могли ли все получившиеся суммы оказаться одинаковыми?
Имеет ли отрицательные корни уравнение <i>x</i><sup>4</sup> – 4<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² – 3<i>x</i> + 9 = 0?
100 включённых и 100 выключенных фонариков случайным образом разложены по двум коробкам. У каждого фонарика есть кнопка, нажатие которой выключает горящий фонарик и зажигает выключенный. Ваши глаза завязаны, и вы не можете видеть, горит ли фонарик. Но вы можете перекладывать фонарики из коробки в коробку и нажимать на них кнопки. Придумайте способ добиться того, чтобы горящих фонариков в коробках было поровну.
Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?
Из вершины тупого угла <i>А</i> треугольника <i>АВС</i> опущена высота <i>AD</i>. Проведена окружность с центром <i>D</i> и радиусом <i>DA</i>, которая вторично пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Найдите <i>AC</i>, если <i>AB = c, AM = m</i> и <i>AN = n</i>.
В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу и любые три из оставшихся – на правую, левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
Сумма двух целых чисел равна <i>S</i>. Маша умножила левое число на целое число <i>a</i>, правое – на целое число <i>b</i>, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на <i>S</i>. Алёша, наоборот, левое число умножил на <i>b</i>, а правое – на <i>a</i>. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на <i>S</i>.
На листе бумаги построили параболу – график функции <i>y = ax</i>² + <i>bx + c</i> при <i>a</i> > 0, <i>b</i> > 0 и <i>c</i> < 0, – а оси координат стёрли (см. рис.).
Как они могли располагаться? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65911/problem_65911_img_2.gif"></div>
Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H. O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>BHC</i>. Центр <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> лежит на отрезке <i>OA</i>. Найдите угол <i>A</i>.
Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?
Что больше: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_2.gif"> или <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_3.gif">
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AD</i> и <i>CE</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – основания перпендикуляров, опущенных на прямую <i>DE</i> из точек <i>A</i> и <i>C</i> соответственно. Докажите, что <i>ME = DN</i>.
На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты.
Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три – на правую, то левая чаша перевесит. Пять слонов встали на левую чашу и четыре – на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?