Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Через точку <i>P</i> проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника <i>ABC</i> (см. рисунок).

Докажите, что площади треугольников <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65521/problem_65521_img_2.png"></div>

В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?

Даны три квадратных трёхчлена:  <i>x</i>² + <i>b</i>₁<i>x</i> + <i>c</i>₁,  <i>x</i>² + <i>b</i>₂<i>x</i> + <i>c</i>₂  и  <i>x</i>² + ½ (<i>b</i>₁ + <i>b</i>₂)<i>x</i> + ½ (<i>c</i>₁ + <i>c</i>₂).  Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

В остроугольном треугольнике <i>MKN</i> проведена биссектриса <i>KL</i>. Точка <i>X</i> на стороне <i>MK</i> такова, что  <i>KX = KN</i>.  Докажите, что прямые <i>KO</i> и <i>XL</i> перпендикулярны (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>MKN</i>).

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?

В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65516/problem_65516_img_2.png"></div>

Квадрат <i>ABCD</i> и равнобедренный прямоугольный треугольник <i>AEF</i>  (∠<i>AEF</i> = 90°)  расположены так, что точка <i>E</i> лежит на отрезке <i>BC</i> (см. рисунок). Найдите угол <i>DCF</i>.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65514/problem_65514_img_2.png"></div>

В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность с центром <i>O</i>. На стороне <i>AB</i> выбрана точка <i>P</i>, а на продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i> – точка <i>Q</i> так, что отрезок <i>PQ</i> касается окружности. Докажите, что  ∠<i>BOP</i> = ∠<i>COQ</i>.

Могут ли произведения всех ненулевых цифр двух последовательных натуральных чисел отличаться ровно в 54 раза?

Известно, что  <i>a</i>² + <i>b = b</i>² + <i>c = c</i>² + <i>a</i>.  Какие значения может принимать выражение  <i>a</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>b</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>c</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)?

Внутри равностороннего треугольника <i>ABC</i> отмечена произвольная точка <i>M</i>. Докажите, что можно выбрать на стороне <i>AB</i> точку <i>C</i>₁, на стороне <i>BC</i> – точку <i>A</i>₁, а на стороне <i>AC</i> – точку <i>B</i>₁ таким образом, чтобы длины сторон треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ были равны отрезкам <i>MA, MB</i> и <i>MC</i>.

Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встаёт и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?

<i>ABCD</i> – выпуклый четырёхугольник. Известно, что  ∠<i>CAD</i> = ∠<i>DBA</i> = 40°,  ∠<i>CAB</i> = 60°,  ∠<i>CBD</i> = 20°.  Найдите угол <i>CDB</i>.

Сорока-ворона кашу варила, деток кормила. Третьему птенцу досталось столько же каши, сколько первым двум вместе взятым. Четвёртому – столько же, сколько второму и третьему. Пятому – столько же, сколько третьему и четвёртому. Шестому – столько же, сколько четвёртому и пятому. А седьмому не досталось – каша кончилась! Известно, что пятый птенец получил 10 г каши. Сколько каши сварила сорока-ворона?

Натуральное число <i>n</i> называется <i>хорошим</i>, если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на <i>n</i>. Запишите десять хороших чисел, которые меньше чем 1000.