Олимпиадные задачи из источника «2009 год» - сложность 2 с решениями
Из пункта<i>А</i>в пункт<i>В</i>вышел пешеход. Одновременно с ним из<i>В</i>в<i>А</i>выехал велосипедист. Через час пешеход оказался ровно посередине между пунктом<i>А</i>и велосипедистом. Ещё через 15 минут они встретились, и каждый продолжил свой путь. Сколько времени потратил пешеход на путь из<i>А</i>до<i>В</i>? (Скорости пешехода и велосипедиста постоянны.)
Какие цифры могут стоять на месте букв в примере <i>AB·C = DE</i>, если различными буквами обозначены различные цифры и слева направо цифры записаны в порядке возрастания?
Шестизначное табло в автомобиле показывает, сколько километров автомобиль проехал с момента покупки. Сейчас на нем высвечивается число, в котором есть четыре "семёрки". Может ли оказаться так, что еще через900 км на табло высветится число, в котором ровно одна "семерка"?
Саша выложил треугольник со стороной из нескольких спичек, разделённый на маленькие треугольники (см. рис.), а Петя – такой же треугольник, сторона которого на три спички больше. Петя считает, что для этого ему потребовалось на 111 спичек больше чем Саше, а Саша с ним не согласен. Кто из мальчиков прав?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/115472/problem_115472_img_2.gif"></div>
Представьте числовое выражение 2·2009² + 2·2010² в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. .
Школьный чемпионат по настольному теннису проводили по олимпийской системе. Победитель выиграл шесть партий. Сколько участников турнира выиграло игр больше, чем проиграло? (На турнире по олимпийской системе участников разбивают на пары. Те, кто проиграл игру в первом туре, выбывают. Тех, кто выиграл в первом туре, снова разбивают на пары. Те, кто проиграл во втором туре, выбывают и т. д. В каждом туре для каждого участника нашлась пара.)
В треугольнике <i>АВС</i> медиана <i>ВМ</i> в два раза меньше стороны <i>АВ</i> и образует с ней угол 40°. Найдите угол <i>АВС</i>.
Дан такой набор из 2009 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор.
Найдите произведение всех чисел набора.
В выпуклом четырёхугольнике<i> ABCD </i>диагональ<i> AC </i>делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон<i> BC </i>и<i> AD </i>. В каком отношении она делит диагональ<i> BD </i>?
Том Сойер взялся покрасить очень длинный забор, соблюдая условие: любые две доски, между которыми ровно две, ровно три или ровно пять досок, должны быть окрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество красок потребуется Тому для этой работы?
Диагонали трапеции<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> O </i>. Описанные окружности треугольников<i> AOB </i>и<i> COD </i>пересекаются в точке<i> М </i>на основании<i> AD </i>. Докажите, что треугольник<i> BMC </i>равнобедренный.
Задайте формулой какую-нибудь квадратичную функцию, график которой пересекает оси координат в вершинах прямоугольного треугольника.
Существуют ли нечётные целые числа <i>х, у</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству (<i>x + y</i>)² + (<i>x + z</i>)² = (<i>y + z</i>)²?
Пусть<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>и<i> δ </i> — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?
Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел. Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?
В футбольном турнире участвовало 20 команд (каждая сыграла с каждой из остальных по одному матчу). Могло ли в результате оказаться так, что каждая из команд-участниц выиграла столько же матчей, сколько сыграла вничью?
При каких значениях <i>c</i> числа sin α и cos α являются корнями квадратного уравнения 5<i>x</i>² – 3<i>x + c</i> = 0 (α – некоторый угол)?