Олимпиадные задачи из источника «02 (2004 год)» - сложность 3 с решениями

В тетраэдре <i>DABC</i>  ∠<i>ACB</i> = ∠<i>ADB</i>,  ребро <i>СD</i> перпендикулярно плоскости <i>АВС</i>. В треугольнике <i>АВС</i> дана высота <i>h</i>, проведённая к стороне <i>АВ</i>, и расстояние <i>d</i> от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите <i>CD</i>.

Трапеция <i>АВСD</i> с основаниями <i>AB</i> и <i>CD</i> вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые <i>AC, BC, AD</i> и <i>BD</i>, является вписанным.

В треугольнике <i>АВС  М</i> – точка пересечения медиан, <i>О</i> – центр вписанной окружности.

Докажите, что если прямая <i>ОМ</i> параллельна стороне <i>ВС</i>, то точка <i>О</i> равноудалена от середин сторон <i>АВ</i> и <i>АС</i>.

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Через точки <i>A</i> и <i>B</i> проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> — ортогональные проекции точки <i>P</i> на прямые <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что прямая <i>XY</i> перпендикулярна медиане треугольника <i>ABC</i>, проведенной из вершины <i>C</i>.

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i> таких, что ∠<i>AMB</i> = ∠<i>CMD</i>.