Олимпиадные задачи из источника «Московская математическая регата» для 7-8 класса - сложность 3 с решениями
На сторонах <i>АС</i> и <i>ВС</i> равностороннего треугольника <i>АВС</i> отмечены точки <i>D</i> и <i>Е</i> соответственно так, что <i>AD</i> = ⅓ <i>AC, CE</i> = ⅓ <i>CE</i>. Отрезки <i>АЕ</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите угол <i>BFC</i>.
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>: ∠<i>ВАС</i> = 20°, ∠<i>ВСА</i> = 35°, ∠<i>ВDС</i> = 40°, ∠<i>ВDА</i> = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.
По двум пересекающимся дорогам с равными постоянными скоростями движутся автомобили "Ауди" и БМВ. Оказалось, что как в 17.00, так и в 18.00 БМВ находился в два раза дальше от перекрёстка, чем "Ауди". В какое время "Ауди" мог проехать перекрёсток?
На столе лежали две колоды, по 36 карт в каждой. Первую колоду перетасовали и положили на вторую. Затем для каждой карты первой колоды подсчитали количество карт между ней и такой же картой второй колоды (то есть сколько карт между семёрками червей, между дамами пик, и т.д.). Чему равна сумма 36 полученных чисел?
Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.
На гипотенузе <i>AВ</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> отметили точку <i>D</i> так, что <i>ВD = AС</i>. Докажите, что в треугольнике <i>AСD</i> биссектриса <i>AL</i>, медиана <i>СM</i> и высота <i>DH</i> пересекаются в одной точке.
В треугольнике <i>АВС</i> ∠<i>В</i> = 110°, ∠<i>С</i> = 50°. На стороне <i>АВ</i> выбрана такая точка <i>Р</i>, что ∠<i>РСВ</i> = 30°, а на стороне <i>АС</i> – такая точка <i>Q</i>, что
∠<i>ABQ</i> = 40°. Найдите угол <i>QPC</i>.
Некоторые клетки белого прямоугольника размером 3×7 произвольным образом покрасили в чёрный цвет. Докажите, что обязательно найдутся четыре клетки одного цвета, центры которых являются вершинами некоторого прямоугольника со сторонами, параллельными сторонам исходного прямоугольника.
На боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отметили точки <i>K</i> и <i>L</i> соответственно так, что <i>AK = CL</i> и ∠<i>ALK</i> + ∠<i>LKB</i> = 60°.
Докажите, что <i>KL = BC</i>.
Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 10 в ряд так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих?