Олимпиадные задачи из источника «2000/01» для 2-7 класса - сложность 1-5 с решениями
Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.
Назовём натуральное число "замечательным", если оно – самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр.
Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?
Дано число: 123456789101112... . Какая цифра стоит на 2000-м месте?
Рассмотрим все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки часов лежат на одной прямой, образуя развёрнутый угол.
Найдутся ли среди таких прямых две взаимно перпендикулярные?
Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?
Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше периметра?
Какое наибольшее количество прямоугольников 41 можно разместить в квадрате 66 (не нарушая границ клеток)?
Отрезки <i>АС</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Периметр треугольника <i>АВС</i> равен периметру треугольника <i>АВD</i>, а периметр треугольника <i>ACD</i> равен периметру треугольника <i>BCD</i>. Найдите длину <i>АО</i>, если <i>ВО</i> = 10 см.
На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.
В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Через вершины <i>А</i> и <i>С</i> треугольника <i>АВС</i> проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла <i>АВС</i>. Они пересекают прямые <i>СВ</i> и <i>ВА</i> в точках <i>К</i> и <i>М</i> соответственно. Найдите длину <i>АВ</i>, если <i>ВМ</i> = 8 см, <i>KC</i> = 1 см и <i>АВ</i> > <i>ВС</i>.
Докажите, что ½ – ⅓ + ¼ – ⅕ + ... + <sup>1</sup>/<sub>98</sub> – <sup>1</sup>/<sub>99</sub> + <sup>1</sup>/<sub>100</sub> > ⅕.
Назовем натуральное число "замечательным", если оно самое маленькое среди натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Чему равна сумма цифр две тысячи первого замечательного числа?
Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все "угловые" кубики. <center><img src="/storage/problem-media/86485/problem_86485_img_2.gif"></center>
При каких значениях <i>m</i> уравнения <i>mx</i> – 1000 = 1001 и 1001<i>x = m</i> – 1000<i>x</i> имеют общий корень?