Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 2 с решениями

Докажите, что среди чисел вида 19991999...19990...0 найдётся хотя бы одно, которое делится на 2001.

Про квадратный трехчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² – <i>ax</i> + 1  известно, что  | <i>f</i>(<i>x</i>)| ≤ 1  при  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1.  Найдите наибольшее возможное значение <i>а</i>.

Корни уравнения  <i>x</i>² + <i>ax</i> + 1 = <i>b</i>  – целые, отличные от нуля числа. Докажите, что число  <i>a</i>² + <i>b</i>²  является составным.

Диагонали равнобокой трапеции<i>АВСD</i>с боковой стороной<i>АВ</i>пересекаются в точке<i>Р</i>. Верно ли, что центр окружности, описанной около трапеции, лежит на окружности, описанной около треугольника<i>ABP</i>?

Докажите, что если каждое из двух чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Квадратный трехчлен  <i>y</i> = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  не имеет корней и  <i>а + b + c</i> > 0.  Найдите знак коэффициента <i>с</i>.

В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех пяти курсов. Каждые два однокурсника придумали одинаковое число задач. Каждые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало ровно по одной задаче?