Олимпиадные задачи из источника «2016 год» для 1-9 класса - сложность 3 с решениями

Можно ли отметить <i>k</i> вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) <i>k</i> = 6;   б) <i>k</i> ≥ 7?

В английском клубе вечером собрались <i>n</i> его членов  (<i>n</i> ≥ 3).  По традициям клуба каждый принес с собой сок того вида, который он предпочитает, в том количестве, которое он планирует выпить в течение вечера. Согласно правилам клуба, в любой момент любые три его члена могут присесть за столик и выпить сока (каждый – своего) в любом количестве, но обязательно все трое поровну. Докажите, что для того, чтобы все члены могли в течение вечера полностью выпить принесенный с собой сок, необходимо и достаточно, чтобы доля сока, принесенного каждым членом клуба, не превосходила одной трети от общего количества.

В куб с ребром 1 поместили 8 непересекающихся шаров (возможно, разного размера). Может ли сумма диаметров этих шаров быть больше 4?

Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?

Уравнение с целыми коэффициентами  <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> = 0  имеет четыре положительных корня с учетом кратности.

Найдите наименьшее возможное значение коэффициента <i>b</i> при этих условиях.

Внутри выпуклого четырехугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>B</i>₁ нашлась такая точка <i>C</i>, что треугольники <i>CA</i>₁<i>A</i>₂ и <i>CB</i>₂<i>B</i>₁ – правильные. Точки <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ симметричны точке <i>C</i> относительно прямых <i>A</i>₂<i>B</i>₂ и <i>A</i>₁<i>B</i><sub>1</sub&g...

В стране лингвистов существует <i>n</i> языков. Там живет <i>m</i> людей, каждый из которых знает ровно три языка, причём для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно <i>k</i>. Оказалось, что  11<i>n</i> ≤ <i>k ≤ ^m</i>/₂.

Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы <i>mn</i> пар людей, которые не смогут поговорить без посредников.

Существует ли 2016-значное число, перестановкой цифр которого можно получить 2016 разных 2016-значных полных квадратов?

Точка <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Прямая, перпендикулярная стороне <i>AC</i>, пересекает сторону <i>BC</i> и прямую <i>AB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что точки <i>B, O</i> и середины отрезков <i>AP</i> и <i>CQ</i> лежат на одной окружности.

Васе задали на дом уравнение  <i>x</i>² + <i>p</i>₁<i>x + q</i>₁ = 0,  где <i>p</i>₁ и <i>q</i>₁ – целые числа. Он нашел его корни <i>p</i>₂ и <i>q</i>₂ и написал новое уравнение  <i>x</i>² + <i>p</i>₂<i>x + q</i>₂ = 0.  Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое). Однако, как ни старался Вас...

Чётное число орехов разложено на три кучки. За одну операцию можно переложить половину орехов из кучки с чётным числом орехов в любую другую кучку. Докажите, что, как бы орехи ни были разложены изначально, такими операциями можно в какой-нибудь кучке собрать ровно половину всех орехов.

Дан выпуклый пятиугольник <i>ABCDE</i>, все стороны которого равны между собой. Известно, что угол <i>A</i> равен 120°, угол <i>C</i> равен 135°, а угол <i>D</i> равен <i>n</i>°.

Найдите все возможные целые значения <i>n</i>.