Олимпиадные задачи из источника «2006 год» для 10 класса
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i> у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i><sup>k</sup>/<sub>n</sub></i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
а) Какие коробки следует купить при <i>n</i> = 10 и <i>k</i> = 3 ?
б) Тот же вопрос для произвольных натуральных <i>n ≥ k</i>.
Алиса и Базилио играют в следующую игру; из мешка, первоначально содержащего 1331 монету, они по очереди берут монеты, причем первый ход делает Алиса и берет 1 монету, а далее при каждом следующем ходе игрок берет (по своему усмотрению) либо столько же монет, сколько взял другой игрок последним ходом, либо на одну больше. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход по правилам. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш независимо от ходов другого?
Можно ли намотать нерастяжимую ленту на бесконечный конус так, чгобы сделать вокруг его оси бесконечно много оборотов? Ленту нельзя наматывать на вершину конуса, а также разрезать и перекручивать. При необходимости можно считать, что она бесконечна, а угол между осью и образующей конуса достаточно мал.
Найти все несократимые дроби <sup><i>а</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, представимые в виде <i>b,а</i> (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел <i>b</i> и <i>а</i>).
Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>5</sub></i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a<sub>1</sub></i>, cos <i>a<sub>2</sub></i>, cos <i>a<sub>3</sub></i>, а также числа sin <i>a<sub>3</sub></i>, sin <i>a<sub>4</sub></i> и sin <i>a<sub>5</sub></i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.
Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>, лежащие на его описанной окружности. Точку <i>P</i> отразили относительно прямой <i>BC</i> и получили точку <i>P_a</i>. Точку пересечения прямых <i>QP_a</i> и <i>BC</i> обозначим <i>A'</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> строятся аналогично. Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i> и <i>C'</i> лежат на одной прямой.
Натуральное число <i>n</i> таково, что 3<i>n</i> + 1 и 10<i>n</i> + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29<i>n</i> + 11 – составное.
В коробке лежат карточки, занумерованные натуральными числами от <i>1</i> до <i>2006</i>. На карточке с номером <i>2006</i> лежит карточка с номером <i>2005</i> и т. д. до <i>1</i>. За ход разрешается взять одну верхнюю карточку (из любой коробки) и переложить ее либо на дно пустой коробки, либо на карточку с номером на единицу больше. Сколько пустых коробок нужно для того, чтобы переложить все карточки в другую коробку?
Можно ли замостить все пространство равными тетраэдрами, все грани которых — прямоугольные треугольники?
Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?
Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?
В выражении (<i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2)<sup>2006</sup> раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
Докажите, что при некоторой степени переменной <i>x</i> получился отрицательный коэффициент.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> во внешнюю сторону построены равные прямоугольники <i>ABMN</i> и <i>LBCK</i> так, что <i>AB = KC</i>.
Докажите, что прямые <i>AL, NK</i> и <i>MC</i> пересекаются в одной точке.