Олимпиадная задача по планиметрии и стереометрии о ленте на конусе для 9–11 классов

Разрежем конус по какой-либо образующей и изобразим на плоскости его развёртку, представляющую собой плоский угол A₀OA₁ величины $\alpha$ (рис.). След ленты на ней, изображающий первый виток, будет выглядеть, как полоса с параллельными краями, проходящая от стороны OA₀ к стороне OA₁. Приложим к этому углу еще одну развёртку конуса --угол A₁OA₂ той же величины $\alpha$. Перейдя через сторону OA₁ нового угла, след ленты продолжит ту же полосу на второй развёртке, пока не дойдет до стороны OA₂, изобразив второй виток, и т.д.

Если лента делает n витков, причем n > $\pi$/$\alpha$, то полоса (по условию, не проходящая через точку O) пересекает лучи OA₀, OA₁,..., OA_n, что невозможно, так как тогда

$\pi$ > $\angle$A₀OA_n = n$\alpha$ > $\pi$. Поэтому число n витков ленты не превышает $\pi$/$\alpha$, а значит, заведомо конечно.

Комментарий. Зная из опыта об описанном в задаче эффекте, медицинская сестра, когда бинтует больному, скажем, руку, расширяющуюся от кисти к локтю, регулярно перекручивает бинт, чтобы он не сползал все время в сторону локтя.

Нет.