Олимпиадная задача по планиметрии: отображение точки на описанной окружности в треугольнике

ПустьP'_a,P'_bи P'_c-- проекции точкиPна прямые, содержащие стороны треугольника. Докажем, что эти точки лежат на одной прямой. Действительно,$\angle$PP'_cP'_a=$\angle$PBP'_a=$\angle$PAC= 180^o-$\angle$PP'_cP'_b. Первое и последнее равенства верны в силу того, что четырехугольникиPP'_aBP'_c

и PP'_cP_bA вписанные. Полученная прямая называется прямой Симсона точки P относительно треугольника ABC (см. рис.). Следовательно, точки P_a, P_b и P_c также лежат на одной прямой, проходящей в два раза дальше от точки P, чем прямая Симсона. Аналогичное утверждение верно и для Q_a, Q_b и Q_c --точек, симметричных точке Q относительно сторон треугольника. Обозначим прямую, содержащую точки P_a, P_b и P_c, через l_p, а прямую, содержащую точки Q_a, Q_b и Q_c, --через l_q. Рассматриваемые в задаче точки A', B' и C' можно определить как точки пересечения пар прямых PQ_a и QP_a, PQ_b и QP_b, PQ_c и QP_b.

Пусть прямая, параллельная l_q и проходящая через P, пересекает l_p в точке X (см. рис.). Пересечение прямой, параллельной l_p и проходящей через Q, с прямой l_q обозначим через Y. Стороны треугольника PXP_a соответственно параллельны сторонам треугольника Q_aYQ, а значит, эти треугольники гомотетичны. Прямые PQ_a, P_aQ и XY должны проходить через центр этой гомотетии, то есть точку A'. Таким образом, точка A' лежит на прямой XY. Аналогично можно показать, что на этой прямой лежат точки B' и C'.

Ответ задачи отсутствует