Олимпиадные задачи из источника «1982 год» для 3-8 класса - сложность 1-4 с решениями
Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
Найти все натуральные числа <i>n</i>, для которых число <i>n</i>·2<sup><i>n</i></sup> + 1 кратно 3.
Числа 1, 2, 3, ..., 1982 возводятся в квадрат и записываются подряд в некотором порядке.
Может ли полученное многозначное число быть полным квадратом?
Упростить выражение <img width="188" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79410/problem_79410_img_2.gif">.
Какое наименьшее количество точек на плоскости надо взять, чтобы среди попарных расстояний между ними встретились числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64?
Петя приобрёл в магазине вычислительный автомат, который за 5 к. умножает любое введённое в него число на 3, а за 2 к. прибавляет к любому числу 4. Петя хочет, начиная с единицы, которую можно ввести бесплатно, набрать на автомате число 1981 и затратить наименьшую сумму денег. Во сколько обойдутся ему вычисления? А что будет, если он захочет набрать число 1982?
В квадрате<i>ABCD</i>находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит${\frac{1}{2}}$<i>AC</i>.
Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам<i>x</i>и<i>y</i>он вычисляет<i>x</i>+<i>y</i>,<i>x</i>−<i>y</i>и${\frac{1}{x}}$(при<i>x</i>≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).