Олимпиадные задачи из источника «1955 год» - сложность 3 с решениями

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.

Числа [<i>a</i>], [2<i>a</i>], ..., [<i>Na</i>] различны между собой, и числа$\left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$${\frac{1}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$,$\left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$${\frac{2}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$, ...,$\left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$${\frac{M}{a}}$$\left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$тоже различны между собой. Найти все такие<i>a</i>.

Трёхчлен  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  при всех целых <i>x</i> является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда  <i>a = b</i> = 0.

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Доказать, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

<i>p</i> простых чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_p</i> образуют возрастающую арифметическую прогрессию и  <i>a</i>₁ > <i>p</i>.

Доказать, что если <i>p</i> – простое число, то разность прогрессии делится на <i>p</i>.

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.

Дан равносторонний$\Delta$<i>ABC</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>BC</i>взяты точки<i>D</i>и<i>E</i>так, что<i>AE</i>=<i>CD</i>. Найти геометрическое место точек пересечения отрезков<i>AE</i>и<i>CD</i>.