Возьмём на положительной полуоси отрезки [1, 2],$\left[\vphantom{2\frac{1}{2},3\frac{1}{2}}\right.$2${\frac{1}{2}}$, 3${\frac{1}{2}}$$\left.\vphantom{2\frac{1}{2},3\frac{1}{2}}\right]$,$\left[\vphantom{3\frac{3}{4},4\frac{3}{4}}\right.$3${\frac{3}{4}}$, 4${\frac{3}{4}}$$\left.\vphantom{3\frac{3}{4},4\frac{3}{4}}\right]$, ..., промежутки между которыми имеют длину 1/2, 1/4, 1/8, ...На отрицательной полуоси возьмём симметричные им отрезки. Докажем, что эта система отрезков обладает требуемым свойством.

Рассмотрим арифметическую прогрессию {a_n} с положительной разностьюd. ПустьN— некоторое положительное число. Выберемnтак, чтоa_n>N. Междуa_nиa_{n + 1}расположены выбранные нами отрезки с общей длинойxи промежутки между ними с общей длинойy(возможно,x= 0 илиy= 0). Ясно, что числоxцелое. Нас интересует случай, когдаa_nиa_{n + 1}попадают в промежутки между выбранными отрезками. В таком случаеy> 0.

Пустьd₁— наибольшее целое число, строго меньшееd, аd₂=d-d₁. Ясно, что 0 <d₂$\le$1. ЕслиNдостаточно велико, то общая длина промежутков между выбранными отрезками, лежащих правееN, меньшеd₂. В таком случаеy<d₂. Ясно также, чтоx$\le$d₁. Поэтомуd=x+y<d₁+d₂=d. Полученное противоречие показывает, чтоa_nилиa_{n + 1}попадает в выбранный отрезок.

Еслиd< 0, то аналогичные рассуждения можно применить к отрезкам на отрицательной полуоси.

Ответ задачи отсутствует