Задача
Даны два многочлена от переменной x с целыми коэффициентами. Произведение их есть многочлен от переменной x с чётными коэффициентами, не все из которых делятся на 4. Доказать, что в одном из многочленов все коэффициенты чётные, а в другом – хоть один нечётный.
Решение
Из того, что не все коэффициенты произведения кратны 4, следует, что у одного многочлена есть нечётный коэффициент.
Предположим, что у обоих многочленов есть нечётные коэффициенты. Заменим все коэффициенты обоих многочленов и их произведения на их остатки от деления на 2. В результате получим многочлены xn + ... + xr и xm + ... + xs и произведение вида xn+m + ... + xr+s. Значит, в исходном произведении коэффициент при xr+s нечётен, что противоречит условию.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь