Олимпиадные задачи из источника «Международная Математическая Олимпиада» - сложность 3 с решениями

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Дан описанный четырёхугольник <i>ABCD, P, Q</i> и <i>R</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что биссектрисы углов <i>ABC, ADC</i> и диагональ <i>AC</i> пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  <i>|PQ| = |QR|</i>.

Найдите все такие натуральные  (<i>a, b</i>),  что <i>a</i>² делится на натуральное число  2<i>ab</i>² – <i>b</i>³ + 1.

Дано 101-элементное подмножество <i>A</i> множества  <i>S</i> = {1, 2, ..., 1000000}.

Докажите, что для некоторых  <i>t</i>₁, ..., <i>t</i>₁₀₀  из <i>S</i> множества   <i>A_j</i> = {<i>x + t_j</i> | <i>x</i> ∈ <i>A;  j</i> = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Покажите, что если  4<i>ab</i> – 1  делит  (4<i>a</i>² – 1)²,  то  <i>a = b</i>.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> > 1  с целыми коэффициентами, <i>k</i> – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен

<i>Q_k</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>P</i>(...<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))...))  (<i>P</i> применён <i>k</i> раз). Докажите, что существует не более <i>n</i> целых чисел <i>t</i>, при которых  <i>Q_k</i>(<i>t</i>) = <i>t</i>.

Найдите все такие пары  (<i>x, y</i>)  целых чисел, что  1 + 2<i>^x</i> + 2^2<i>x</i>+1 = <i>y</i>².

Точка<i>I</i>– центр вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Внутри треугольника выбрана точка<i>P</i>такая, что <center> <font face="Symbol">Ð</font><i>PBA</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCA</i> = <font face="Symbol">Ð</font><i>PBC</i> + <font face="Symbol">Ð</font><i>PCB.</i></center> Докажите, что<i>AP</i>≥<i>AI</i>, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда<i>P</i>совпадает с<i>I</i>.