Олимпиадная задача Канеля-Белова: теория чисел, делимость, 8–10 класс

  b²(4a² – 1)² – a²(4b² – 1)²  делится на  (4a² – 1)b + (4b² – 1)a = (a + b)(4ab – 1),  а поэтому и на  4ab – 1.  Отсюда следует (поскольку a² и  4ab – 1  взаимно просты), что если пара  (a, b)  хорошая, то и пара  (b, a)  хорошая.

  Среди хороших пар есть тривиальные – все пары вида  (a, a).

  Назовём число плохим, если оно входит в нетривиальную хорошую пару. Пусть a – наименьшее плохое число, а  b > a  входит с ним в одну хорошую пару.

  Заметим, что число     (поскольку  4ab – 1 > 4a² – 1).  Кроме того, d делится на 4a (поскольку  (4a² – 1)² + 4ab – 1  делится на 4a, а 4a и  4ab – 1  взаимно просты). Поэтому число  b₁ = ^d/_4a  – целое и меньше a. Но  (4a² – 1)²  делится на  4ab₁ – 1 = d – 1,  то есть  (a, b₁)  – хорошая пара. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует