Олимпиадные задачи из источника «44 Международная Математическая Олимпиада (2003 год)»

Пусть <i>p</i> – простое число. Докажите, что при некотором простом <i>q</i> все числа вида  <i>n^p – p</i>  не делятся на <i>q</i>.

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Дан описанный четырёхугольник <i>ABCD, P, Q</i> и <i>R</i> – основания перпендикуляров, опущенных из вершины <i>D</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Докажите, что биссектрисы углов <i>ABC, ADC</i> и диагональ <i>AC</i> пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  <i>|PQ| = |QR|</i>.

Каждая пара противоположных сторон данного выпуклого шестиугольника обладает следующим свойством: расстояние между серединами равно<i> <img src="/storage/problem-media/111041/problem_111041_img_2.gif">/</i>2умноженное на сумму их длин. Докажите, что все углы в шестиугольнике равны.

Найдите все такие натуральные  (<i>a, b</i>),  что <i>a</i>² делится на натуральное число  2<i>ab</i>² – <i>b</i>³ + 1.

Дано 101-элементное подмножество <i>A</i> множества  <i>S</i> = {1, 2, ..., 1000000}.

Докажите, что для некоторых  <i>t</i>₁, ..., <i>t</i>₁₀₀  из <i>S</i> множества   <i>A_j</i> = {<i>x + t_j</i> | <i>x</i> ∈ <i>A;  j</i> = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.