Олимпиадные задачи из источника «1972 год» - сложность 1-2 с решениями
Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>k ≤ n</i>. Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была а) наименьшей; б) наибольшей.
Последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub> < <i>a</i><sub>2</sub> < <i>a</i><sub>3</sub> < ... < <i>a</i><sub><i>n</i></sub> < ... такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите, что <i>a</i><sub><i>n</i></sub> ≤ <i>n</i>² для любого <i>n</i> = 1, 2, 3, ...
Пусть <i>a, b, m, n</i> – натуральные числа, причём числа <i>a</i> и <i>b</i> взаимно просты и <i>a</i> > 1.
Докажите, что если <i>a<sup>m</sup> + b<sup>m</sup></i> делится на <i>a<sup>n</sup> + b<sup>n</sup></i>, то <i>m</i> делится на <i>n</i>.
Найдите наименьшее натуральное число <i>n</i>, для которого выполнено следующее условие: если число <i>p</i> – простое и <i>n</i> делится на <i>p</i> – 1, то <i>n</i> делится на <i>p</i>.
Можно ли увезти из каменоломни 50 камней, массы которых 370 кг, 372 кг, 374 кг, ..., 468 кг (арифметическая прогрессия с разностью 2 кг), на семи трёхтонках?