Олимпиадные задачи из источника «1970 год» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.
Из цифр 1 и 2 составили пять <i>n</i>-значных чисел так, что у каждых двух чисел совпали цифры ровно в <i>m</i> разрядах, но ни в одном разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что отношение <sup><i>m</i></sup>/<sub><i>n</i></sub> не меньше ⅖ и не больше ⅗.
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i> можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то <i>ABCD</i> – трапеция или параллелограмм.
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.
На дуге <i>BC</i> окружности, описанной около равностороннего треугольника <i>ABC</i>, взята произвольная точка <i>P</i>. Докажите, что <i>AP = BP + CP</i>.