Олимпиадные задачи из источника «глава 9. Геометрические неравенства» для 10-11 класса - сложность 1-3 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.

В некотором лесу расстояние между каждыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м.

Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.

В параллелограмм <i>P</i>₁ вписан параллелограмм <i>P</i>₂, а в параллелограмм <i>P</i>₂ вписан параллелограмм <i>P</i>₃, стороны которого параллельны сторонам <i>P</i>₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон <i>P</i>₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны <i>P</i>₃.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>. Докажите, что  <i>AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD</i>.

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.