Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 3-8 класса - сложность 2 с решениями

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.

Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.