Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 10-11 класса - сложность 5 с решениями

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника<i>ABCDEF</i>попарно параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда, когда его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>равны. б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого (возможно, самопересекающегося) шестиугольника.

Окружности $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$касаются данной окружности в вершинах <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>. Пусть <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$} — длина общей касательной к окружностям $\alpha$и $\beta$(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); <i>t</i>_{$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$},<i>t</i>_{$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$}и т. д. определяются аналогично. Докажите, что <i>t</i>_{$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$}<...