Задача
а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол $\varphi$=$\angle$ABP=$\angle$BCP=$\angle$CAPназываетсяуглом Брокараэтого треугольника. Докажите, что ctg$\varphi$=ctg$\alpha$+ctg$\beta$+ctg$\gamma$. б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABCизогонально сопряжены. в) Касательная к описанной окружности треугольника ABCв точке Cи прямая, проходящая через точку Bпараллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABCравен углу A1AC.
Решение
а) Так как PC=${\frac{AC\sin CAP}{\sin APC}}$и PC=${\frac{BC\sin CBP}{\sin BPC}}$, то ${\frac{\sin\varphi \sin\beta }{\sin\gamma }}$=${\frac{\sin(\beta -\varphi )\sin\alpha }{\sin\beta }}$. Учитывая, что sin($\beta$-$\varphi$) = sin$\beta$cos$\varphi$- cos$\beta$sin$\varphi$, получаем ctg$\varphi$=ctg$\beta$+${\frac{\sin\beta }{\sin\alpha \sin\gamma }}$. Остается заметить, что sin$\beta$= sin($\alpha$+$\gamma$) = sin$\alpha$cos$\gamma$+ sin$\gamma$cos$\alpha$. б) Для второго угла Брокара получаем точно такое же выражение, как и в задаче а). Ясно также, что оба угла Брокара острые. в) Так как $\angle$A1BC=$\angle$BCAи $\angle$BCA1=$\angle$CAB, то $\triangle$CA1B$\sim$$\triangle$ABC. Поэтому точка Брокара Pлежит на отрезке AA1(см. задачу 5.115, б)).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь