Задача
а) Через точку Брокара Pтреугольника ABCпроведены прямые AP,BPи CP, пересекающие описанную окружность в точках A1,B1и C1. Докажите, что $\triangle$ABC=$\triangle$B1C1A1. б) Треугольник ABCвписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA,PBи PCс окружностью S, может быть равен треугольнику ABCне более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA,PBи PCс окружностью отличны от точек A,Bи C.)
Решение
а) Докажем, что $\smile$AB=$\smile$B1C1, т. е. AB=B1C1. В самом деле, $\smile$AB=$\smile$AC1+$\smile$C1B, а $\smile$C1B=$\smile$AB1, поэтому $\smile$AB=$\smile$AC1+$\smile$AB1=$\smile$B1C1. б) Будем считать, что треугольники ABCи A1B1C1вписаны в одну окружность, причем треугольник ABCфиксирован, а треугольник A1B1C1вращается. Прямые AA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A1B1C1(задача 7.20, б)). При этом может возникнуть 12 различных семейств треугольников A1B1C1: треугольники ABCи A1B1C1могут совмещаться поворотом или осевой симметрией; кроме того, вершинам треугольника символы A1,B1и C1можно сопоставить шестью различными способами. Из этих 12 семейств треугольников четыре семейства никогда не могут дать искомой точки P. Для одинаково ориентированных треугольников исключаются случаи $\triangle$ABC=$\triangle$A1C1B1,$\triangle$ABC=$\triangle$C1B1A1и $\triangle$ABC=$\triangle$B1A1C1(например, в случае $\triangle$ABC=$\triangle$A1C1B1точка Pявляется точкой пересечения прямой BC=B1C1и касательной к окружности в точке A=A1; треугольники ABCи A1B1C1при этом совпадают). Для противоположно ориентированных треугольников исключается случай $\triangle$ABC=$\triangle$A1B1C1(в этом случае AA1|BB1|CC1). Замечание. Точкам Брокара соответствуют противоположно ориентированные треугольники; для первой точки Брокара $\triangle$ABC=$\triangle$B1C1A1, а для второй точки Брокара $\triangle$ABC=$\triangle$C1A1B1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь