Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Разные задачи» для 9 класса
параграф 5. Разные задачи
НазадТочка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.
На биссектрисе угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>A</i><sub>1</sub>так, что <i>AA</i><sub>1</sub>=<i>p</i>-<i>a</i>= (<i>b</i>+<i>c</i>-<i>a</i>)/2, и через точку <i>A</i><sub>1</sub>проведена прямая <i>l</i><sub>a</sub>, перпендикулярная биссектрисе. Если аналогично провести прямые <i>l</i><sub>b</sub>и <i>l</i><sub>c</sub>, то треугольник <i>ABC</i>разобьется на части, среди которых четыре треугольника. Докажите, что площадь одного из этих треугольников равна сумме площадей трех других.
Через точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, проведены отрезки, параллельные сторонам. Отрезки <i>AA</i><sub>1</sub>,<i>BB</i><sub>1</sub>и <i>CC</i><sub>1</sub>разбивают треугольник <i>ABC</i>на четыре треугольника и три четырехугольника (рис.). Докажите, что сумма площадей треугольников, прилегающих к вершинам <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, равна площади четвертого треугольника.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56784/problem_56784_img_2.gif" border="1"></div>
Диагонали выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точке<i>O</i>;<i>P</i>и<i>Q</i>— произвольные точки. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{S_{AOP}}{S_{BOQ}}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{ACP}}{S_{BDQ}}}$<sup> . </sup>$\displaystyle {\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}}$. </div>
Диаметр <i>PQ</i>и перпендикулярная ему хорда <i>RS</i>пересекаются в точке <i>A</i>. Точка <i>C</i>лежит на окружности, а точка <i>B</i> — внутри окружности, причем <i>BC</i>||<i>PQ</i>и <i>BC</i>=<i>RA</i>. Из точек <i>A</i>и <i>B</i>опущены перпендикуляры <i>AK</i>и <i>BL</i>на прямую <i>CQ</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>ACK</sub>=<i>S</i><sub>BCL</sub>.
Середины диагоналей <i>AC</i>,<i>BD</i>,<i>CE</i>,... выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i>образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.
На сторонах <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>взяты точки <i>E</i>и <i>F</i>. Пусть <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>и <i>N</i> — середины отрезков <i>DE</i>,<i>BF</i>,<i>CE</i>и <i>AF</i>. Докажите, что четырехугольник <i>KLMN</i>выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек <i>E</i>и <i>F</i>.
Продолжения сторон <i>AD</i>и <i>BC</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>; <i>M</i>и <i>N</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>, <i>P</i>и <i>Q</i> — середины диагоналей <i>AC</i>и <i>BD</i>. Докажите, что: а) <i>S</i><sub>PMQN</sub>= |<i>S</i><sub>ABD</sub>-<i>S</i><sub>ACD</sub>|/2; б) <i>S</i><sub>OPQ</sub>=<i>S</i><sub>ABCD</sub>/4.
На сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>внешним образом построены параллелограммы; <i>P</i> — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных <i>AB</i>и <i>BC</i>. На стороне <i>AC</i>построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна <i>BP</i>. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.
Даны параллелограмм <i>ABCD</i>и некоторая точка <i>M</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>ACM</sub>= |<i>S</i><sub>ABM</sub>±<i>S</i><sub>ADM</sub>|.