Олимпиадные задачи из источника «глава 3. Окружности» для 9 класса - сложность 3 с решениями

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.

Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Три окружности попарно касаются внешним образом в точках <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>ABC</i>перпендикулярна всем трем окружностям.

Две окружности, вписанные в сегмент <i>AB</i> данной окружности, пересекаются в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> проходит через середину <i>C</i> дополнительной дуги данного сегмента <i>AB</i>.

Из точки <i>D</i>окружности <i>S</i>опущен перпендикуляр <i>DC</i>на диаметр <i>AB</i>. Окружность <i>S</i>₁касается отрезка <i>CA</i>в точке <i>E</i>, а также отрезка <i>CD</i>и окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>DE</i> — биссектриса треугольника <i>ADC</i>.

Даны окружность <i>S</i>и прямая <i>l</i>, не имеющие общих точек. Из точки <i>P</i>, движущейся по прямой <i>l</i>, проводятся касательные <i>PA</i>и <i>PB</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что все хорды <i>AB</i>имеют общую точку.

На продолжении хорды <i>KL</i>окружности с центром <i>O</i>взята точка <i>A</i>, и из нее проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>; <i>M</i> — середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>MKO</i>=$\angle$<i>MLO</i>.

Три окружности радиуса <i>R</i>проходят через точку <i>H</i>; <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i> — точки их попарного пересечения, отличные от <i>H</i>. Докажите, что: а) <i>H</i> — точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>; б) радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>тоже равен <i>R</i>.

Прямая <i>OA</i> касается окружности в точке <i>A</i>, а хорда <i>BC</i> параллельна <i>OA</i>. Прямые <i>OB</i> и <i>OC</i> вторично пересекают окружность в точках <i>K</i> и <i>L</i>.

Докажите, что прямая <i>KL</i> делит отрезок <i>OA</i> пополам.