Задачи и олимпиады по математике

Задача

ЧетырехугольникABCDвписанный. Пустьr_a,r_b,r_c,r_d— радиусы вписанных окружностей треугольниковBCD,ACD,ABD,ABC. Докажите, чтоr_a+r_c=r_b+r_d.

Решение

Пусть$\varphi$=$\angle$AOB, гдеO— точка пересечения диагоналейACиBD. Пусть, далее,r_ab,r_bc,r_cd,r_ad— радиусы окружностей, касающихся описанной окружности четырехугольникаABCDи отрезковCOиDO,DOиAO,AOиBO,BOиCO. Согласно теореме Тебо (задача 3.47B)

r_a	= r_adsin²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_abcos²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$,	r_b	= r_abcos²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_bcsin²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$,
r_c	= r_bcsin²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_cdcos²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$,	r_d	= r_cdcos²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r_adsin²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.

Поэтомуr_a+r_c= (r_ad+r_bc)sin²${\frac{\varphi }{2}}$+ (r_ab+r_cd)cos²${\frac{\varphi }{2}}$=r_b+r_d.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления