Задачи и олимпиады по математике

Задача

На сторонеBCтреугольникаABCвзята точкаD. ОкружностьS₁касается отрезковBEиEAи описанной окружности, окружностьS₂касается отрезковCEиEAи описанной окружности. ПустьI,I₁,I₂иr,r₁,r₂-- центры и радиусы вписанной окружности и окружностейS₁,S₂;$\varphi$=$\angle$ADB. Докажите, что точкаIлежит на отрезкеI₁I₂, причёмI₁I:II₂=tg²${\frac{\varphi }{2}}$. Докажите также, чтоr=r₁cos²${\frac{\varphi }{2}}$+r₂sin²${\frac{\varphi }{2}}$(Тебо).

Решение

ПустьE₁иE₂— основания перпендикуляров, опущенных из точекI₁иI₂на прямуюAC. Согласно задаче 3.46точкаIявляется точкой пересечения прямой, проходящей через точкуE₁и точку касания прямойBDи окружностиS₁, и прямой, проходящей через точкуE₂и точку касания прямойBDи окружностиS₂. ПустьF₁— точка пересечения прямыхE₁I₁иE₂I,F₂— точка пересечения прямыхE₂I₂иE₁I. Ясно, чтоDI₁$\bot$E₁I,DI₂$\bot$E₂IиDI₁$\bot$DI₂. ПоэтомуI₁D||F₁E₂иI₂D||F₂E₁. Следовательно,E₁I₁:I₁F₁=E₁D:DE₂=F₂I₂:I₂E₂. Это означает, что точкаIлежит на отрезкеI₁I₂, причем

I₁I : II₂ = E₁F₁ : E₂F₂ = E₁E₂tg$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ : E₁E₂ctg$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ = tg²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.

ПустьE— проекция точкиIна прямуюAC. Тогдаr=IE. Согласно задаче 1.1 б)

IE = $\displaystyle {\frac{I_1E_1{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}+I_2E_2{\rm tg}\frac{\varphi }{2}}{{\rm tg}\frac{\varphi }{2}+{\rm ctg}\frac{\varphi }{2}}}$ = r₁cos²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$ + r₂sin²$\displaystyle {\frac{\varphi }{2}}$.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления