Олимпиадные задачи из источника «глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры» для 5-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Арена цирка освещается <i>n</i> различными прожекторами. Каждый прожектор освещает выпуклую фигуру. Известно, что если выключить любой прожектор, то арена будет по-прежнему полностью освещена, а если выключить любые два прожектора, то арена будет освещена не полностью. При каких <i>n</i> это возможно?

Существуют ли на плоскости три такие точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>, что для любой точки <i>X</i>длина хотя бы одного из отрезков<i>XA</i>,<i>XB</i>и <i>XC</i>иррациональна?

Пусть<i>n</i>$\ge$3. Существуют ли <i>n</i>точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

Список упорядоченных в порядке возрастания длин сторон и диагоналей одного выпуклого четырехугольника совпадает с таким же списком для другого четырехугольника. Обязательно ли эти четырехугольники равны?

В выпуклом четырехугольнике<i>ABCD</i>равны стороны<i>AB</i>и <i>CD</i>и углы <i>A</i>и <i>C</i>. Обязательно ли этот четырехугольник параллелограмм?

Существует ли треугольник, у которого все высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 м²?

Можно ли нарисовать на плоскости шесть точек и так соединить их непересекающимися отрезками, что каждая точка будет соединена ровно с четырьмя другими?

Постройте замкнутую шестизвенную ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно один раз.

На плоскости дано 400 точек. Докажите, что различных расстояний между ними не менее 15.

На плоскости дано<i>n</i>точек, причем из любой четверки этих точек можно выбросить одну точку так, что оставшиеся точки будут лежать на одной прямой. Докажите, что из данных точек можно выбросить одну точку так, что все оставшиеся точки будут лежать на одной прямой.

а) Архитектор хочет расположить четыре высотных здания так, что, гуляя по городу, можно увидеть их шпили в произвольном порядке (т. е. для любого набора номеров зданий <i>i</i>,<i>j</i>,<i>k</i>,<i>l</i>можно стоя в некоторой точке и поворачиваясь в направлении к пок или к противк часовой стрелки, увидеть сначала шпиль здания <i>i</i>, затем <i>j</i>,<i>k</i>,<i>l</i>). Удастся ли ему это сделать? б) Тот же вопрос для пяти зданий.