Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Системы точек»

Докажите, что для любого натурального <i>N</i>существует <i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

На плоскости дано 22 точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что их можно разбить на пары так, чтобы отрезки, заданные парами, пересекались по крайней мере в пяти точках.

На плоскости дано 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 1000 непересекающихся четырехугольников (возможно, невыпуклых) с вершинами в этих точках.

На плоскости дано<i>n</i>$\ge$3 точек. Пусть <i>d</i> — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более <i>n</i>пар точек, расстояние между которыми равно <i>d</i>.

На плоскости дано 400 точек. Докажите, что различных расстояний между ними не менее 15.

На плоскости дано<i>n</i>точек, причем из любой четверки этих точек можно выбросить одну точку так, что оставшиеся точки будут лежать на одной прямой. Докажите, что из данных точек можно выбросить одну точку так, что все оставшиеся точки будут лежать на одной прямой.

а) Архитектор хочет расположить четыре высотных здания так, что, гуляя по городу, можно увидеть их шпили в произвольном порядке (т. е. для любого набора номеров зданий <i>i</i>,<i>j</i>,<i>k</i>,<i>l</i>можно стоя в некоторой точке и поворачиваясь в направлении к пок или к противк часовой стрелки, увидеть сначала шпиль здания <i>i</i>, затем <i>j</i>,<i>k</i>,<i>l</i>). Удастся ли ему это сделать? б) Тот же вопрос для пяти зданий.