Олимпиадные задачи из источника «глава 21. Принцип Дирихле» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями
глава 21. Принцип Дирихле
НазадНа плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?
Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше 1. б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника, площадь общей части которых не меньше<sup>1</sup>/<sub>9</sub>.
На плоскости дано <i>n</i> фигур. Пусть <i>S</i><sub><i>i</i><sub>1</sub>...<i>i<sub>k</sub></i></sub> – площадь пересечения фигур с номерами <i>i</i><sub>1</sub>, ..., <i>i<sub>k</sub></i>, a <i>S</i> – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; <i>M<sub>k</sub></i> – сумма всех чисел <i>S</i><sub><i>i</i><sub>1</sub>...<i>i<sub>k</sub></i></sub>. Докажите, что:
а) <i>S</i> = <i>M</i><sub>1</sub> – <i>M</i><sub>2</sub> + <i>M</i><sub>3</sub> – ... + (–1)&l...
В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.
В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более <i>k</i>хорд, то сумма длин хорд меньше$\pi$<i>k</i>.
На плоскости дано <i>n</i>попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше180<sup><tt>o</tt></sup>/<i>n</i>.
Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого<i>n</i>-угольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в вершинах<i>n</i>-угольника содержалась хотя бы одна отмеченная точка?
В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.
В прямоугольнике 3×4 расположено 6 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит $\sqrt{5}$.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.