Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Углы и длины»

На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?

Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по <i>k</i>дуг, угловые величины каждой из которых меньше${\frac{1}{k^2-k+1}}$^.180^<tt>o</tt>, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.

Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.

Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Внутри окружности радиуса <i>n</i>расположено 4<i>n</i>отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой <i>l</i>и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более <i>k</i>хорд, то сумма длин хорд меньше$\pi$<i>k</i>.

На плоскости дано <i>n</i>попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше180^<tt>o</tt>/<i>n</i>.