Задача
В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним из квадратиков.
Решение
Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, удаленных от квадратика со стороной 1 на расстояние не больше 1 (рис.). Ясно, что круг радиуса 1, центр которого расположен вне этой фигуры, не пересекается с квадратиком. Площадь такой фигуры равна$\pi$+ 5. Центр нужного круга должен также находиться на расстоянии больше 1 от сторон большого квадрата, т. е. внутри квадрата со стороной 13. Ясно, что 20 фигур площадью$\pi$+ 5 не могут покрыть квадрат со стороной 13, так как20($\pi$+ 5) < 132. Круг с центром в непокрытой точке обладает требуемым свойством.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь