Олимпиадные задачи из источника «глава 2. Вписанный угол» для 6-9 класса - сложность 1 с решениями
глава 2. Вписанный угол
НазадВ треугольнике <i>ABC</i>проведена высота <i>AH</i>; <i>O</i> — центр описанной окружности. Докажите, что $\angle$<i>OAH</i>= |$\angle$<i>B</i>-$\angle$<i>C</i>|.
На окружности взяты точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>AC</i><sup> . </sup><i>AD</i>/<i>AM</i>=<i>BC</i><sup> . </sup><i>BD</i>/<i>BM</i>.
Диагонали трапеции <i>ABCD</i>с основаниями <i>AD</i>и <i>BC</i>пересекаются в точке <i>O</i>; точки <i>B'</i>и <i>C'</i>симметричны вершинам <i>B</i>и <i>C</i>относительно биссектрисы угла <i>BOC</i>. Докажите, что $\angle$<i>C'AC</i>=$\angle$<i>B'DB</i>.
Из произвольной точки <i>M</i>катета <i>BC</i>прямоугольного треугольника <i>ABC</i>на гипотенузу <i>AB</i>опущен перпендикуляр <i>MN</i>. Докажите, что $\angle$<i>MAN</i>=$\angle$<i>MCN</i>.
Из точки <i>M</i>, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на диаметры <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что длина отрезка <i>PQ</i>не зависит от положения точки <i>M</i>.
В окружность вписаны равнобедренные трапеции <i>ABCD</i>и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub><i>D</i><sub>1</sub>с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что <i>AC</i>=<i>A</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub>.
Две окружности пересекаются в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Через точку <i>A</i>первой окружности проведены прямые <i>AP</i>и <i>AQ</i>, пересекающие вторую окружность в точках <i>B</i>и <i>C</i>. Докажите, что касательная в точке <i>A</i>к первой окружности параллельна прямой <i>BC</i>.
На окружности даны точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>в указанном порядке. <i>M</i> — середина дуги <i>AB</i>. Обозначим точки пересечения хорд <i>MC</i>и <i>MD</i>с хордой <i>AB</i>через <i>E</i>и <i>K</i>. Докажите, что <i>KECD</i> — вписанный четырехугольник.
Из произвольной точки <i>M</i>, лежащей внутри данного угла с вершиной <i>A</i>, опущены перпендикуляры <i>MP</i>и <i>MQ</i>на стороны угла. Из точки <i>A</i>опущен перпендикуляр <i>AK</i>на отрезок <i>PQ</i>. Докажите, что $\angle$<i>PAK</i>=$\angle$<i>MAQ</i>.
Две окружности пересекаются в точках <i>M</i>и <i>K</i>. Через <i>M</i>и <i>K</i>проведены прямые <i>AB</i>и <i>CD</i>соответственно, пересекающие первую окружность в точках <i>A</i>и <i>C</i>, вторую в точках <i>B</i>и <i>D</i>. Докажите, что <i>AC</i>||<i>BD</i>.
Вершина <i>A</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>соединена отрезком с центром <i>O</i>описанной окружности. Из вершины <i>A</i>проведена высота <i>AH</i>. Докажите, что $\angle$<i>BAH</i>=$\angle$<i>OAC</i>.
Биссектриса внешнего угла при вершине <i>C</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AD</i>=<i>BD</i>.
Центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>симметричен центру описанной окружности относительно стороны <i>AB</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного <i>n</i>-угольника, кратны <sup>180°</sup>/<sub><i>n</i></sub>.
а) Из точки<i>A</i>, лежащей вне окружности, выходят лучи<i>AB</i>и<i>AC</i>, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла<i>BAC</i>равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.б) Вершина угла <i>BAC</i> расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла <i>BAC</i> равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла <i>BAC</i> и внутри угла, симметричного ему относительно вершины <i>A</i>.