Олимпиадные задачи из источника «глава 13. Векторы» для 1-11 класса - сложность 5 с решениями
В выпуклом пятиугольнике<i>ABCDE</i>, площадь которого равна <i>S</i>, площади треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDE</i>,<i>DEA</i>и <i>EAB</i>равны <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>и <i>e</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>S</i><sup>2</sup> - <i>S</i>(<i>a</i> + <i>b</i> + <i>c</i> + <i>d</i> + <i>e</i>) + <i>ab</i> + <i>bc</i> + <i>cd</i> + <i>de</i> + <i>ea</i> = 0. </div>
Пусть <i>H</i><sub>1</sub>,<i>H</i><sub>2</sub>и <i>H</i><sub>3</sub> — ортоцентры треугольников<i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>,<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>и <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>4</sub>. Докажите, что площади треугольников<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>и <i>H</i><sub>1</sub><i>H</i&g...
Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.
Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $\pi$.
Внутри выпуклого<i>n</i>-угольника<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>взята точка <i>O</i>так, что$\overrightarrow{OA_1}$+...+$\overrightarrow{OA_n}$=$\overrightarrow{0}$. Пусть<i>d</i>=<i>OA</i><sub>1</sub>+...+<i>OA</i><sub>n</sub>. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4<i>d</i>/<i>n</i>при <i>n</i>четном и не меньше4<i>dn</i>/(<i>n</i><sup>2</sup>- 1) при <i>n</i>нечетном.
На плоскости даны четыре вектора <b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>и <b>d</b>, сумма которых равна нулю. Докажите, что<div align="CENTER"> |<b>a</b>| + |<b>b</b>| + |<b>c</b>| + |<b>d</b>|$\displaystyle \ge$|<b>a</b> + <b>d</b>| + |<b>b</b> + <b>d</b>| + |<b>c</b> + <b>d</b>|. </div>
Из точки <i>O</i>выходит <i>n</i>векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку <i>O</i>, содержится не менее <i>k</i>векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит<i>n</i>- 2<i>k</i>.
Пусть<b>a</b><sub>1</sub>,<b>a</b><sub>2</sub>,...,<b>a</b><sub>n</sub> — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме<b>c</b>= ±<b>a</b><sub>1</sub>±<b>a</b><sub>2</sub>...±<b>a</b><sub>n</sub>можно выбрать знаки так, что|<b>c</b>|$\le$$\sqrt{2}$.
В выпуклом пятиугольнике<i>ABCDE</i>сторона<i>BC</i>параллельна диагонали<i>AD</i>,<i>CD</i>||<i>BE</i>,<i>DE</i>||<i>AC</i>и <i>AE</i>||<i>BD</i>. Докажите, что<i>AB</i>||<i>CE</i>.
Даны четыре попарно непараллельных вектора <b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>и <b>d</b>, сумма которых равна нулю. Докажите, что<div align="CENTER"> |<b>a</b>| + |<b>b</b>| + |<b>c</b>| + |<b>d</b>| > |<b>a</b> + <b>b</b>| + |<b>a</b> + <b>c</b>| + |<b>a</b> + <b>d</b>|. </div>