Пусть расстояния от точки Oдо сторонBC,CAиABравны x,yи zсоответственно. Тогдаax+by+cz= 2(S_BOC+S_COA+S_AOB) = 2S_ABC. Ясно также, чтоx:y:z= (S_BOC/a) : (S_COA/b) : (S_AOB/c). Уравнениеax+by+cz= 2Sзадает плоскость в трехмерном пространстве с координатами x,y,z, причем вектор (a,b,c) перпендикулярен этой плоскости, так как еслиax₁+by₁+cz₁= 2Sи ax₂+by₂+cz₂= 2S, тоa(x₁-x₂) +b(y₁-y₂) +c(z₁-z₂) = 0. Нам нужно найти точку(x₀,y₀,z₀) этой плоскости, для которой достигается минимум выраженияx²+y²+z², и проверить, что этой точке соответствует некоторая внутренняя точка треугольника. Так какx²+y²+z² — это квадрат расстояния от начала координат до точки (x,y,z), то искомой точкой является основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, т. е.x:y:z=a:b:c. Остается проверить, что внутри треугольника существует точка O, для которойx:y:z=a:b:c. Это равенство эквивалентно условию

т. е.S_BOC:S_COA:S_AOB=a²:b²:c². А так как равенствоS_BOC:S_AOB=a²:c²следует из равенствS_BOC:S_COA=a²:b²иS_COA:S_AOB=b²:c², то искомая точка — это точка пересечения прямыхCC₁иAA₁, делящих стороныABиBCв отношенияхBC₁:C₁A=a²:b²иCA₁:A₁B=b²:c²соответственно.

Ответ задачи отсутствует