Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» для 4-8 класса - сложность 2 с решениями
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>X, M</i> и <i>N</i> – её проекции на катеты <i>AC</i> и <i>BC</i>.
а) При каком положении точки <i>X</i> длина отрезка <i>MN</i> будет наименьшей?
б) При каком положении точки <i>X</i> площадь четырёхугольника <i>CMXN</i> будет наибольшей?
Докажите, что треугольники с длинами сторон <i>a, b, c</i> и <i>a</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>1</sub> подобны тогда и только тогда, когда <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57530/problem_57530_img_2.gif">
Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной <i>a</i> и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон <i>b</i> и <i>c</i>?
Докажите, что среди всех треугольников<i>ABC</i>с фиксированным углом $\alpha$и полупериметром <i>p</i>наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.
Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом $\alpha$и площадью <i>S</i>наименьшую длину стороны<i>BC</i>имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.