Задачи и олимпиады по математике

Задача

Пустьa,b,cиa',b',c'— длины сторон треугольниковABCиA'B'C',SиS'— их площади. Докажите, что

a²(- a'² + b'² + c'²) + b²(a'² - b'² + c'²) + c²(a'² + b'² - c'²)$\displaystyle \ge$16SS',

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны (Пидо).

Решение

Построим на сторонеBCтреугольникаABCвнутренним образом треугольникA''BC, подобный треугольникуA'B'C'. При этомA''A= 0 тогда и только тогда, когда треугольникиABCиA'B'C'подобны. По теореме косинусов

A''A²	= AC² + A''C² - 2AC^.A''C cos(C - C') =
	= b² + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b'a}{a'}}\right.$ $\displaystyle {\frac{b'a}{a'}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b'a}{a'}}\right)^{2}_{}$ - 2 $\displaystyle {\frac{bb'a}{a'}}$ cos(C - C').