Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 9-10 класса - сложность 1 с решениями

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Докажите, что если число  <i>n</i>! + 1  делится на  <i>n</i> + 1,  то  <i>n</i> + 1  – простое число.

Сколько диагоналей имеет выпуклый:

а) 10-угольник;   б) <i>k</i>-угольник  (<i>k</i> > 3)?

В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое.

Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?

Докажите, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xy + yz + zx</i>&nbsp при любых <i>x, y, z</i>.

Докажите, что  <i>x</i> + ¹/_<i>x</i> ≥ 2  при  <i>x</i> > 0.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30860/problem_30860_img_2.gif">   при  <i>x</i> ≥ 0.

Найдите все целые решения уравнения  3<i>x</i> – 12<i>y</i> = 7.

Какое число нужно добавить к числу  (<i>n</i>² – 1)¹⁰⁰⁰(<i>n</i>² + 1)¹⁰⁰¹,  чтобы результат делился на<i>n</i>?

Найдите остаток от деления 6¹⁰⁰ на 7.

а)  <i>a</i> + 1  делится на 3. Докажите, что  4 + 7<i>a</i>  делится на 3.б)  2 + <i>a</i>  и  35 – <i>b</i>  делятся на 11. Докажите, что  <i>a + b</i>  делится на 11.

Найдите последнюю цифру числа 2⁵⁰.

Найдите последнюю цифру числа 1989¹⁹⁸⁹.

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.

Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Три простых числа <i>p, q</i> и <i>r</i>, большие 3, образуют арифметическую прогрессию:  <i>q = p + d,  r = p</i> + 2<i>d</i>.  Докажите, что <i>d</i> делится на 6.

Натуральные числа <i>x, y, z</i> таковы, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>z</i>².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

а) Докажите, что  <i>p</i>² – 1  делится на 24, если <i>p</i> – простое число и  <i>p</i> > 3.

б) Докажите, что  <i>p</i>² – <i>q</i>²  делится на 24, если <i>p</i> и <i>q</i> – простые числа, большие 3.

Докажите, что  <i>n</i>³ – <i>n</i>  делится на 24 при любом нечётном <i>n</i>.

На сколько нулей оканчивается число 100!?

Может ли <i>n</i>! оканчиваться ровно на пять нулей?

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов.

Сколькими способами это может быть сделано?

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга

  а) две ладьи;   б) двух королей;  в) двух слонов;   г) двух коней;   д) двух ферзей?

Все фигуры одного цвета.

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов

  а) ВЕКТОР;

  б) ЛИНИЯ;

  в) ПАРАБОЛА;

  г) БИССЕКТРИСА;

  д) МАТЕМАТИКА.