Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Теорема Виета» для 9-11 класса - сложность 3-4 с решениями

Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения  <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> = 0,  если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

Известно, что целые числа <i>a, b, c</i> удовлетворяют равенству  <i>a + b + c</i> = 0.  Докажите, что  2<i>a</i>⁴ + 2<i>b</i>⁴ + 2<i>c</i>⁴  – квадрат целого числа.

а) Числа <i>a, b, c</i> являются тремя из четырёх корней многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

б) Числа <i>a, b, c</i> являются корнями многочлена  <i>x</i>⁴ – <i>ax</i>³ – <i>bx + c</i>.  Найдите все такие многочлены.

Решите системы: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б)  <i>x</i>(<i>y + z</i>) = 2,  <i>y</i>(<i>z + x</i>) = 2,  <i>z</i>(<i>x + y</i>) = 3; в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>x + y</i> = 32,  12(<i>x + y</i>) = 7<i>xy</i>; г)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д)  <i>x + y + z</i> = 1,  <i>xy + xz + yz</i> = –4,  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i><sup>3</sup&gt...

а) Известно, что  <i>x + y = u + v,  x</i>² + <i>y</i>² = <i>u</i>² + <i>v</i>².

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> выполняется равенство  <i>xⁿ + yⁿ = uⁿ + vⁿ</i>. б) Известно, что  <i>x + y + z = u + v + t,  x</i>²+<i>y</i>²+<i>z</i>²=<i>u</i>²+<i>v</i>²+<i>t</i>², <i>x</i>³+<i>...

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i> = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты <i>p, q</i> и <i>r</i> для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Известно, что <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ – корни уравнения  <i>x</i>³ – 2<i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0.

Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа  <i>y</i>₁ = <i>x</i>₂<i>x</i>₃,  <i>y</i>₂ = <i>x</i>₁<i>x</i>₃,  <i>y</i>₃ = <i>x</i>₁<i>x</i>₂.

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена  <i>x</i>³ + <i>x</i>² – 2<i>x</i> – 1.

Найдите все значения параметра <i>a</i>, при которых корни <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ многочлена  <i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + <i>ax + a</i>  удовлетворяют равенству

(<i>x</i>₁ – 3)³ + (<i>x</i>₂ – 3)³ + (<i>x</i>₃ – 3)³ = 0.

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:

  а}  (<i>x + y</i>)(<i>y + z</i>)(<i>x + z</i>);

  б}  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ – 3<i>xyz</i>;

  в}  <i>x</i>³ + <i>y</i>³;

  г)  (<i>x</i>² + <i>y</i>²)(<i>y</i>² + <i>z</i>²)(<i>x</i>² + <i>z</i>²);

  д)   <img align="middle" src="/storage/prob...